Ejercicios Método Ruffini Resueltos Paso a Paso [Guía Definitiva 2025]

Introducción: el truco que simplifica los polinomios

¿Alguna vez te has encontrado con un polinomio enorme y has pensado “¿cómo demonios se divide esto?”?
Tranquilo, no eres el único. A muchos estudiantes de secundaria y bachillerato les pasa lo mismo cuando ven divisiones polinómicas por primera vez. Por suerte, existe un método rápido, ordenado y bastante ingenioso para resolverlas sin tener que escribir largas divisiones: el método de Ruffini.

El método de Ruffini, también llamado regla de Ruffini, es una técnica que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x – a) de manera sencilla. Además, es muy útil para encontrar raíces, factorizar polinomios y comprobar si un número es una raíz exacta.

En esta guía te voy a explicar cómo funciona paso a paso, con ejemplos resueltos, trucos y algunos errores típicos que conviene evitar. Verás que no es tan complicado como parece al principio. ¡Vamos allá!

1. ¿Qué es exactamente el método de Ruffini?

El método de Ruffini es una forma abreviada de realizar la división de un polinomio entre un binomio (x – a).
Sirve cuando el divisor tiene coeficiente 1 delante de la x, es decir, algo como (x – 2), (x + 3), (x – 5)… pero no funciona con divisores del tipo (2x – 1) o (x² – 3).

Por ejemplo:
Dividir ( P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 ) entre ( (x – 1) ).

En lugar de hacer una división larga, aplicamos Ruffini y en tres pasos lo tenemos hecho.

2. ¿Cuándo se puede aplicar Ruffini?

Antes de usar el método, asegúrate de que se cumplen estas tres condiciones:

1. El divisor es un binomio de la forma (x – a).
2. El polinomio tiene todos los términos ordenados por grado descendente (de x³ a x⁰).
3. No faltan grados intermedios; si falta alguno, se completa con un cero.

Por ejemplo:

• ✔️ Se puede aplicar en ( (x^3 – 5x^2 + 2x – 8) ÷ (x – 2) )
• ❌ No se puede aplicar en ( (2x^3 – 4x^2 + 1) ÷ (2x – 1) )

3. Los pasos del método de Ruffini

Vamos con el procedimiento. No te asustes por los números, verás que es bastante mecánico:

1. Escribe solo los coeficientes del polinomio, ordenados según los grados.
   Por ejemplo, de ( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 ) tomamos 1, -6, 11, -6.
2. Coloca el número “a” del divisor (x – a) a la izquierda.
   Si el divisor es (x – 1), escribes 1; si es (x + 3), escribes -3.
3. Baja el primer coeficiente tal cual.
   Ese será el primer número del cociente.
4. Multiplica ese número por “a” y suma el resultado al siguiente coeficiente.
5. Repite el proceso hasta el final.
   El último número que obtengas será el resto. Los demás forman el cociente.

Parece mucho, pero con un ejemplo lo entiendes al instante.

4. Primer ejercicio: nivel básico

Ejemplo 1: Dividir ( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 ) entre ( (x – 1) )

Paso 1. Escribimos los coeficientes:
→ 1, -6, 11, -6

Paso 2. Como el divisor es (x – 1), el número a usar es 1.

Paso 3. Bajamos el primer número:
→ 1

Paso 4. Multiplicamos 1 × 1 = 1, y lo sumamos al siguiente coeficiente:
-6 + 1 = -5

Paso 5. Multiplicamos -5 × 1 = -5, y sumamos:
11 + (-5) = 6

Paso 6. Multiplicamos 6 × 1 = 6, y sumamos:
-6 + 6 = 0

Cociente: ( x^2 – 5x + 6 )
Resto: 0

✅ El resto es 0, por lo tanto, (x – 1) es un factor del polinomio.

Interpretación:
Significa que ( x = 1 ) es una raíz del polinomio, es decir, ( P(1) = 0 ).

5. Segundo ejercicio: nivel intermedio

Ejemplo 2: Dividir ( 2x^3 + 3x^2 – 5x – 6 ) entre ( (x + 2) )

Paso 1. Coeficientes: 2, 3, -5, -6
El divisor es (x + 2), así que a = -2.

Paso 2. Bajamos el primer coeficiente:
→ 2

Paso 3. Multiplicamos 2 × (-2) = -4; sumamos:
3 + (-4) = -1

Paso 4. Multiplicamos -1 × (-2) = 2; sumamos:
-5 + 2 = -3

Paso 5. Multiplicamos -3 × (-2) = 6; sumamos:
-6 + 6 = 0

Cociente: ( 2x^2 – x – 3 )
Resto: 0

✅ De nuevo, el resto es 0. Por lo tanto, (x + 2) es un factor y x = -2 es una raíz.

6. Tercer ejercicio: nivel avanzado (con resto distinto de cero)

Ejemplo 3: Dividir ( x^3 – 3x^2 + 4 ) entre ( (x – 2) )

Paso 1. Coeficientes: 1, -3, 0, 4 (ponemos 0 porque falta el término con x¹).
a = 2

Paso 2. Bajamos el primer coeficiente:
→ 1

Paso 3. Multiplicamos 1 × 2 = 2; sumamos:
-3 + 2 = -1

Paso 4. Multiplicamos -1 × 2 = -2; sumamos:
0 + (-2) = -2

Paso 5. Multiplicamos -2 × 2 = -4; sumamos:
4 + (-4) = 0

Cociente: ( x^2 – x – 2 )
Resto: 0

✅ También exacta. Pero vamos a probar una donde sí haya resto, para ver qué pasa.

Ejemplo 4: Dividir ( x^3 – 2x + 4 ) entre ( (x – 2) )

Coeficientes: 1, 0, -2, 4
a = 2

• Bajamos el 1.
• 1 × 2 = 2; 0 + 2 = 2
• 2 × 2 = 4; -2 + 4 = 2
• 2 × 2 = 4; 4 + 4 = 8

Cociente: ( x^2 + 2x + 2 )
Resto: 8

🔹 En este caso, el resto no es 0, lo que significa que (x – 2) no es factor de ( P(x) ).

7. Consejos prácticos para dominar Ruffini

Ahora que ya sabes cómo se aplica, déjame darte algunos consejos que suelo repetir a mis alumnos:

1. Ordena siempre el polinomio.
   Muchos errores vienen de olvidar un término. Si falta, completa con un 0.
2. Revisa el signo del divisor.
   Si el divisor es (x + 3), el número que colocas es -3. Este detalle cambia todo.
3. Comprueba el resultado sustituyendo.
   Si crees que ( x = a ) es una raíz, prueba a sustituir en el polinomio. Si da 0, está bien.
4. Practica con polinomios pequeños.
   No empieces con grados 5 o 6. Domina primero los cubos y cuadrados.
5. Usa colores o columnas.
   En papel, marcar cada columna ayuda a no mezclar las sumas.
6. No te rindas si fallas una vez.
   La mayoría de los estudiantes se equivocan en los primeros intentos. Es cuestión de ritmo, no de suerte.

8. Errores comunes (y cómo evitarlos)

💡 Error 1: Confundir el signo del número del divisor.

• Si divides entre (x – 2), escribes 2.
• Si divides entre (x + 2), escribes -2.
  👉 Solución: piensa siempre “(x – a) → uso a”.

💡 Error 2: Saltarse un término del polinomio.
Por ejemplo, en ( x^3 – 2x + 5 ), falta el término de x².
👉 Solución: añade un 0 como coeficiente.

💡 Error 3: No interpretar el resultado.
A veces el resto no es 0, y el alumno sigue pensando que encontró una raíz.
👉 Solución: si el resto ≠ 0, no es raíz.

💡 Error 4: Olvidar escribir el cociente en forma polinómica.
Después de Ruffini, hay que reescribir el resultado con las potencias correctas:
Si el polinomio era de grado 3, el cociente será de grado 2.

9. ¿Para qué sirve Ruffini en la práctica?

Quizá te preguntes: “¿y esto de Ruffini para qué lo uso fuera del examen?”.
Buena pregunta. El método de Ruffini no solo sirve para dividir polinomios; también tiene varias aplicaciones útiles:

• Encontrar raíces reales de un polinomio.
• Comprobar si un número es una raíz (si el resto da 0).
• Factorizar polinomios en productos de factores lineales.
• Simplificar ecuaciones algebraicas para resolverlas más fácilmente.

Por ejemplo, si tienes ( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 ), y ves que ( x = 1 ) es raíz, puedes usar Ruffini para reducirlo a ( x^2 – 5x + 6 ), que luego se factoriza en (x – 2)(x – 3).
Así consigues todas las raíces: 1, 2 y 3.

10. Una forma rápida de comprobar tus resultados

Cuando termines un ejercicio, siempre puedes comprobar el resultado multiplicando el cociente por el divisor y sumando el resto:

[
P(x) = (x – a) \times Q(x) + R
]

Si todo está correcto, esa igualdad debe cumplirse.
Por ejemplo, en el primer caso:

[
(x – 1)(x^2 – 5x + 6) + 0 = x^3 – 6x^2 + 11x – 6
]

Perfecto. Si al expandir no coincide, revisa los signos o una suma en el proceso.

11. Mini resumen visual

12. Conclusión: perderle el miedo a Ruffini

El método de Ruffini puede parecer un jeroglífico la primera vez que lo ves, pero cuando lo practicas un par de veces, se vuelve casi automático.
Es como aprender a montar en bici: al principio cuesta mantener el equilibrio, pero luego ni piensas en ello.

Recuerda:

• Ordena el polinomio.
• Coloca bien el número del divisor.
• Suma y multiplica con cuidado.
• Comprueba tu resultado.

Y sobre todo, no te frustres si algo no sale a la primera. La matemática no se trata de memorizar pasos, sino de entender el porqué de cada uno. Y en Ruffini, ese “porqué” es simple: estamos dividiendo de forma más elegante, más rápida y sin tanto lío de potencias.

Así que ya sabes, cuando te toque dividir un polinomio, no te compliques con la división larga.
Saca tu lápiz, prepara tus coeficientes y aplica el método Ruffini.
Verás que, con práctica, te parecerá casi magia algebraica. ✨

Enlaces útiles:
👉 Explicación detallada del método de Ruffini en Wikipedia